MATEMATIKA

Matematika (od grčkog mathema - znanost) je egzaktna (točna, nedvojbena) znanost koja izučava aksiomatski definirane apstraktne strukture koristeći matematičku logiku. Matematika izniče gdje god se pojavljuju pitanja vezana za veličinu, strukturu, prostor ili promjenu. U početku vezano uz trgovinu i mjerenje zemljišta, kasnije astronomiju, a danas uz mnoga područja života. Matematika se uči u osnovnim i srednjim školama kao obavezan predmet. Također i veliki dio fakulteta ima o

Povijest i razvoj[uredi VE | uredi]

Antika, srednji i novi vijek[uredi VE | uredi]

Majanski brojevni sustav.

Matematika se počela razvijati prije više tisuća godina, još u doba starih Egipćana. Poslije se proširila u Grčku i grčko-rimski svijet. Osim toga, aktivno se razvijala u Kini i Japanu. Razvila se iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji. Ove tri primjene mogu se dovesti u vezu s grubom podjelom matematike na izučavanje strukture, prostora i izmjena. Fundamentalnu knjigu za razvoj matematike, "Elementi", napisao je grčki matematičar Euklid. Knjiga ima 12 svezaka. To je prva knjiga pisana stilom koji je danas poznat kao (egzaktni) matematički: definicija - aksiom - teorem - dokaz. Knjiga je, zbog tadašnjeg nedostatka simbola pisana u potpunosti riječima, što danas, naravno, nije slučaj. Proučavanje geometrijskih prostora je, u pravom smislu te riječi, počelo kada je Euklid postavio svojih pet aksioma o prostoru. Takav prostor se danas zove euklidski prostor, no tijekom mnogo godina su se razvili i neeuklidski prostori te još mnogi drugi.
Podrobniji članak o temi: Indijska matematika

Suvremena matematika[uredi VE | uredi]

Iako je matematika znanost koja je tradicionalno povezana s tehničkim znanostima i fizikom, zadnjih smo desetljeća svjedoci prodora matematike u ekonomiju, medicinu i ostale znanosti. Tome treba pridodati i nagli razvoj informatičkih tehnologija u koje je matematika uključena od samih početaka. Godišnje se prijavi oko 200 000 novih matematičkih teorema, a na raznim razinama znanja i stručnosti postoji preko 1600 časopisa koji objavljuju matematičke materijale. Današnja matematika je podosta napredna, u svim smjerovima, a ljudi koji se bave modernom matematikom su usko specijalizirani i nečesto bave stvarima koje su nemamtematičarima izvanrazumske. Ipak, postoje goleme primjene. Krajem četrdesetih godina prošlog stoljeća John von Neumann je procijenio da bi obrazovani matematičar mogao raspolagati sa oko 10% osnovnih znanja cijele matematike do tada poznate. Do danas se taj postotak značajno smanjio. Za razliku od rane, istočnjačke i zapadnjačke izolacije, današnja matematika je ujedinjena.

Podjela[uredi VE | uredi]

Osnove matematike sadrže izučavanje strukture, prostora i promjenu.
Izučavanje strukture počinje s brojevima, u početku s prirodnim brojevima i cijelim brojevima.
Skup prirodnih brojeva = N
Skup prirodnih brojeva i 0 = N₀
Skup cijelih brojeva = Z
Skup racionalnih brojeva = Q
Skup iracionalnih brojeva = I
Skup realnih brojeva = R
U = Unija (za skupove zbrajanje)
N U 0 = N₀
N₀ U {negativni cijeli brojevi} = Z
Z U {razlomci i decimalni brojevi} = Q
Q U I = R
Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definirana u osnovnoj algebri, a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednadžbi je dovelo do razvoja apstraktne algebre, koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture što poopćuju svojstva koja posjeduju brojevi.
Fizikalno važan koncept vektora i matrica se proučava u linearnoj algebri.
Proučavanje prostora je počelo s geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširilo na neeuklidske geometrije, koje imaju centralnu ulogu u općoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Nadalje i apstraktni vektroski, unitarni, metrički i normirani prostori. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.
Razumijevanje i opisivanje promjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih znanosti, i diferencijalni (infinitezimalni) račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, a pritom razvijene metode izučavaju se u diferencijalnim jednadžbama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, a detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize. Zbog unutrašnjih, matematičkih, razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva, koji je glavni predmet izučavanja kompleksne analize. Funkcionalna analiza je usredotočena na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time neke od primjenjivih osnova i za izučavanje kvantne mehanike.
Radi razjašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijena su područja teorija skupova, matematička logika i teorija modela Aritmetika daje važnost brojevima, algebra rješavanju jednadžbi, dok geometrija objašnjava osobine i odnose figura u prostoru. Matematika se gradi i na samoj sebi. Geometrija na aritmetici i algebri; na njima diferencijalni i integralni račun. Topologija je pak izdanak geometrije, teorije skupova i algebre. Diferencijalne jednadžbe se grade na diferencijalnom i integralnom računu, topologiji i algebri. Matematika bi se mogla okarakterizirati kao čvrsto stablo u rastu: sa deblom, granama i lišćem.

Strukture[uredi VE | uredi Prostor[uredi VE | uredi]Promjene[uredi VE | uredi]Napomena[uredi VE | uredi]